Archiv der Kategorie: Deutsch

Die Brasilianische Prüfung

Das Spiel gestern zwischen Brasilien und Deutschland kam mir im Verlauf vor wie manche mündlichen Prüfungen. Wenn die ersten beiden Fragen daneben gehen, werden die Prüflinge kopflos. Aufgabe des Prüfers ist dann, wieder Ruhe ins Spiel zu bringen, und Ordnung in den weiteren Verlauf der Prüfung.

Von einem Gegner im Halbfinale einer WM kann man das natürlich nicht verlangen. Da müsste der Trainer vorsorgen. Wenn der aber schon vor dem Spiel mächtig Druck aufbaut, braucht er sich über die hormonbedingte Verzweiflung beim geringsten Misserfolg nicht zu wundern. Genauso kommen mir manche Studenten vor, die schon wissen, wie wenig sie wissen, aber dieses Nichtwissen kaschieren, sogar vor sich selbst.

Keine Angst! Die meisten Studenten sind eher auf der schlechten Seite der Notenskala. Dieses Wissen sollte genügen um zu erkennen, wie viel man mit Lernen, Nachdenken und Üben erreichen kann.

Sunflower

sunflower

I saw this as an example about Dart, the programming language which is essentially JavaScript a la Google. Have look at this page for the code and a demo.

The EMT code is much easier.

n=1:1000; r=sqrt(n); t=2*pi*n/((1+sqrt(5))/2); ...
x=r*cos(t); y=r*sin(t); ...
fullwindow;  ...
plot2d(x,y,>points,color=rgb(0.9,0.8,0),style="o#",<grid):

Admittedly, the code at the linked demo page does a bit more. It display a slider for the number of points and a Latex formula linked as PNG from some page. EMT could do that too. But it cannot run on a web page like a programming language designed to do just this. Java could do it too, but it is dead. And it could not easily interact with the rest of the page, mostly because of security concerns.

Juristisches Neuland

Nun ist also Google allerhöchstrichterlich verurteilt worden, Suchergebnisse mit „sensiblen persönlichen Daten“ zu entfernen, wenn der Benutzer das wünscht. Wohlgemerkt! Die Daten sind schon noch da. Sie sollen nur nicht über Google aufgefunden werden können. Ein Besuch im Zeitungsarchiv oder die Suchfunktion auf der Webseite des Journals darf sie durchaus noch zutage bringen. Diese Unlogik sieht auf den ersten, und eigentlich auch auf den zweiten Blick wie das übliche Problem aus, das Juristen mittleren Alters mit dem Neuland Internet halt so haben.

Man kann sich den Aufschrei gar nicht laut genug vorstellen, der zu hören wäre, wenn die Verlage verpflichtet würden, Archivinhalte mit Namensnennungen auf Antrag zu  löschen. Dann werden einfache Privatpersonen schnell zu Persönlichkeiten des öffentlichen Interesses. Der Bericht über einen Autounfall muss als Exempel für die Verteidigung der Pressefreiheit herhalten.

Ich bin gespannt, wie Google das umsetzt. Das Geschäftsmodell beruht ja darauf, dass alles, was sich im Internet befindet, auch über Google zu finden ist. Jetzt soll das auf Antrag nicht mehr der Fall sein. Also haben wir in Zukunft neben ausgegrauten Fassaden auch geschwärzte Suchergebnisse. Der Bürger verbirgt sich vor dem Netz.

Ich füge hinzu, dass auch mir nicht ganz wohl ist, wenn Lebensprofile auf einfache Art in wenigen Minuten erstellt werden können. Aber das Finden zu erschweren, scheint mir nicht der rechte Weg zu sein. Man sollte doch um der lieben Logik willen bei den Quellen anfangen.

Kalte Progession

Das Thema „Kalte Progression“ ist ja derzeit in aller Munde. Aber ich wette, dass kaum einer versteht, worum es da geht.  Diverse Kommentare in den Nachrichten bestätigen diese Vermutung. Es wird sogar bisweilen davon gesprochen, dass die Steuer die Lohnerhöhungen auffressen würde. Das ist Unsinn.

Die Funktion „steuer()“ im Programm unten berechnet die Steuer nach der offiziellen Steuerfunktion von 2010-2014 (trotzdem keine Garantie meinerseits). Wir nehmen als Beispiel einen allein stehenden Facharbeiter mit 40000€ Jahresgehalt. Wie man sieht, beträgt sein häufig überschätzter Steuersatz, also der Anteil der Steuer am gesamten Bruttogehalt,  nur etwa 22.5%. Bei einer 2%-igen Gehaltserhöhung bekommt er von den 800€ noch 510€ heraus. Die Steuer steigt um 290€. Das liegt am sogenannten „Grenzsteuersatz“, der bei ihm etwa 36% jeder Gehaltserhöhung auffrisst.

Übrigens steigt der Steuersatz nur um 0.3% an. Da dieser minimale Anstieg sich aber auf das gesamte Gehalt auswirkt, werden nicht nur 22.5% von 800€ fällig, was etwa 180€ wären, sondern die genannten 290€.

Dass der Steuersatz (im Beispiel 22,5%) nicht gleich dem Grenzsteuersatz (im Beispiel 36%) ist, ist übrigens eine notwendige Folge der „Progression“, die dafür sorgt, dass höhere Einkommen einen größeren Anteil ihres Einkommens als Steuer bezahlen. Mit der „kalten Progression“ hat das erst mal nichts zu tun. Die Progression ist in jedem Steuersystem schon dann notwendig, wenn es Freibeträge für sehr niedrige Einkommen vorsieht. Außerdem ist sie eine verfassungsmäßige Notwendigkeit.

Was ist nun die „kalte Progression“? Sie entsteht dadurch, dass man eine Gehaltssteigerung in Höhe des Inflationsausgleichs als automatisch annimmt. Eine solche wünschenswerte Steigerung bewirkt, dass für den Gehaltsempfänger der Steuersatz steigt. Und der wirkt sich, wie gesagt, auf das gesamte Gehalt aus. Was eine Gehaltserhöhung also wirklich auffrisst, ist die Inflation!

In anderen Ländern wird zum Ausgleich die Steuerkurve in jedem Jahr angepasst. Gehaltserhöhungen im Rahmen des Inflationsausgleichs wirken sich dann nicht mehr auf den Steuersatz aus. Da die ausgehandelten Steigerungen oft sogar unter dem Inflationsausgleich liegen, bedeutet die Anpassung der Steuerberechnung für viele sogar ein zusätzliches Steuergeschenk. Ich finde das fair.

Man wird natürlich den Einwand zu hören bekommen, dass die Abgaben nicht allein aus der Lohnsteuer bestehen, sondern Sozialabgaben (Rente, Pflege und Arbeitslosigkeit) und die Beiträge für die Krankenkasse umfassen. Für mich sind diese Abgaben allerdings schlicht Versicherungsbeiträge, wie sie in anderen Ländern privat zu tragen wären. Sie unterliegen außerdem nicht der Progression, sondern sind im Gegenteil sogar auf Höchstbeträge limitiert und wirken sich nicht auf Kapitalerträge aus.

Weiter wird man zu hören bekommen, dass bei einem kleineren Zweitverdienst des Ehepartners die Sachlage schlimmer wäre. Das ist aber nicht der Fall. Beim Lohnsteuerjahresausgleich wird der Steuersatz des halben Gesamteinkommen genommen und dann auf das gesamte Einkommen angewendet (Ehegattensplitting). Der Grenzsteuersatz ist ebenfalls viel geringer. Wenn also zu 40000€ ein Zuverdienst von 800€ des Ehepartners kommt, bleibt noch deutlich mehr als die oben berechneten 510€ über.

>function  map steuer (x:scalar, verheiratet:integer=0) ...
$  if verheiratet then xs=x/2; f=2; else xs=x; f=1; endif
$  if xs<8130 then return 0
$  elseif xs<13470 then 
$              y=(xs-8130)/10000; 
$              return (933.7*y+1400)*y*f
$  elseif xs<52881 then 
$              y=(xs-13470)/10000; 
$              return ((228.74*y+2397)*y+1014)*f
$  elseif xs<=250730 then 
$              return (0.42*xs-8196)*f
$  else return (0.45*xs-15718)*f
$endif
$endfunction
>function prefix eu (x) := cprint(x)+" €"; // Formatierung in €
>function prefix pp (x) := print(x->%,2,unit=" %"); // Formatierung in %
>E=40000; eu E, eu steuer(E), eu E-steuer(E)
    40 000.00 €
     8 983.21 €
    31 016.79 €
>pp steuer(E)/E
      22.46 %
>Z=40000*2%; eu E+Z, eu steuer(E+Z), eu E+Z-steuer(E+Z)
    40 800.00 €
     9 273.53 €
    31 526.47 €
>eu Z-(steuer(E+Z)-steuer(E))
       509.68 €
>pp steuer(E+Z)/(E+Z)
      22.73 %
>pp diff("steuer",E)
      36.11 %

Die folgende Grafik zeigt noch einmal eine Übersicht über die Steuersätze und Grenzsteuersätze, jeweils für einen nicht Verheirateten (oder einen Verheirateten, dessen Ehepartner dasselbe verdient) und für einen allein verdienenden Ehepartner (blau).

steuer

Euler Math Toolbox 2014-22-01

The new exciting thing are special characters in plots, comments and output. Here is a somewhat random example.

alpha

To get this, you need to define Unicode strings in Euler. E.g., the title of this plot is labelled

>title = u"&alpha;&sup3; - &alpha;"

You can use very many HTML codes, so-called „entities“. You can also use Unicode numbers. You can use the entities in comments too. This is a bit faster and more friendly than a line of Latex code.

In EMT, Unicode strings are just strings with a special flag. They draw via the Unicode API of Windows. This works for simple line output too.

>sa = u"&alpha;";
>sa + " = " + 45 + u"&deg;"
 α = 45°

Internally, the interpreter and most of the surface still runs in plain ASCII. But some strings are translated to Unicode.

Thanks to Evgeniy who pushed me into doing this!

Windows 8 – Abgesicherter Modus

Die einfachste Art, Windows 8 in den abgesicherten Modus zu booten, ist die folgende.

  • In der Kachelansicht gibt man „msconfig“ ein und startet die Systemkonfiguration.
  • Im zweiten Reiter „Start“ wählt man „Abgesicherter Modus“.
  • Danach „Ok“ und „Neustart“.
  • Der Rechner startet nun immer in den abgesicherten Modus.
  • Um normal zu starten, muss man dort das Procedere wiederholen.

Was aber, wenn Windows 8 nicht mehr läuft, aber noch startet? Dann kann man versuchen, Windows Startprobleme vorzutäuschen. Dazu würgt man ein paar Startvorgänge ab, indem man den Computer durch langes Drücken der Einschalttaste ausschaltet, sobald das Windows-Logo erscheint. Danach erkennt Windows ein Problem und startet die Reparatur, die auch anbietet, Windows auf einen alten Stand zurück zu setzen. Klar ist, dass diese Gewaltmaßnahme nur in Notfällen angewendet werden sollte!

Sie setzen doch regelmäßig Wiederherstellungspunkte? Nein? Dann wird es Zeit. Suchen Sie in der Systemsteuerung (Windows-X) nach „Wiederherstellung“ und starten Sie „Wiederherstellungspunkt erstellen“.

Taschenrechner in der Schule

Ich bin gerade über diese Diskussion auf den Seiten der WAZ gestolpert. Es geht um „Edel-Taschenrechner“ in der Schule und die Diskussion, ob diese Taschenrechner „überhaupt den Mathematikunterricht voranbringen und ihren Preis Wert sind“. Genauer geht es Casio-Taschenrechner mit Menüführung für 80€ bei Sammelbestellung. Jeder, der Kinder in der Schule hat, kennt die zusätzlichen finanziellen Anforderungen, die auf die Eltern zukommen. Das fängt bei Lernmaterial an und geht über schulische Freizeitaktivitäten bis zum notwendigen Computer daheim. Und jetzt also noch 80€ für den Taschenrechner?

Wir haben das schon oft diskutiert. Das Ergebnis war immer, dass Taschenrechner oder sogar Software heute notwendige Bestandteile einer höheren Mathematikausbildung sein müssen.

Es kann nicht mehr Hauptkompetenz des Unterrichts sein, immer wieder Dinge zu üben, die ein leicht und billig verfügbares Gerät besser und genauer erledigen kann.

Wir sind und auch einig, dass technische Hindernisse eine vernünftige Nutzung von Software oder Hardware behindern. Die Technik wird aber fortschreiten und irgendwann werden tragbare Computer in der Schule selbstverständlich sein, ebenso selbstverständlich wie es Taschenrechner heute schon sind.

Was hilft uns das? Dazu müssen wir sehen, was wir den jungen Leuten beibringen wollen. Die in der Schule zu vermittelnden Mathematik-Kompetenzen sind:

  • Geometrische Anschauung. Das betrifft die Vorstellung von zwei- und dreidimensionalen Objekten sowie Längen und Winkeln in diesen Objekten bis hin zu Funktionsgraphen, Tangenten und Ortslinien. Ganz offenbar kann hier neben der manipulativen Erstellung von Zeichnungen und realen Modellen Software eine wesentliche Hilfe sein.
  • Algebraische Fertigkeiten. Das ist das Rechnen mit Zahlen und Unbekannten, einschließlich dem Calculus. Hier kann Software als Lernhilfe eingesetzt werden oder um die erlernten Grundkenntnisse auf Probleme zu erweitern, deren Rechnung mit der Hand sehr mühsam bis unmöglich wäre.
  • Fähigkeit zur logischen Reflexion. Damit meine ich zum einen die Fähigkeit, sich bei geometrischen oder algebraischen Tätigkeiten im Klaren zu sein, was man eigentlich tut. Da kann schon einmal ein „Beweis“ notwendig werden. Zum anderen aber betrifft es auch die Fähigkeit, reale Problem in mathematische Modelle zu übertragen. Reflexion ist die Fähigkeit einzusehen, warum Schritte korrekt oder falsch sind. Da kann Software höchstens dadurch helfen, dass man Falsches auch einmal ausprobieren kann.

Der letzte Punkt ist in der Schule ohnehin unterrepräsentiert. Es ist daher nützlich beim Einüben von Rechenfähigkeiten Zeit für Besseres zu sparen.

 

Der Goldene Schnitt

In der Tiefgarage in Ingolstadt gibt es ein mathematisches Wandbild zu entdecken.

schnitt1

Vermutlich ist das eine Hommage an Leonardo da Vinci. Aber der Goldene Schnitt ist viel älter. Da Vinci glaubt ihn in den menschlichen Proportionen wieder zu entdecken. Surft man heute nach dem Goldenen Schnitt im menschlichen Körper, so findet man Bilder einer jungen chinesischen Frau, die mit diesem Titel geehrt wurde. Tatsächlich findet sich der Goldene Schnitt in der Kunst und auch natürlichen Objekten, aber bei den durchschnittlichen menschlichen Proportionen der Realität findet er sich grob angenähert.

Es reizt mich, die Mathematik des Schnittes hier ein klein wenig zu vertiefen. Zunächst enthält das Wandbild oben eine Konstruktion des Goldenen Schnittes.

schnitt

Die Strecke BC ist halb so groß wie AB. Danach erhält man mit Pythagoras

\(AE = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \, AB\)

Oder äquivalent

\(AB = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} AE\)

Der Punkt E teilt AB dann im Goldenen Schnitt, wie man mit etwas Rechnung einsieht.

\(\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{AE}{EB}\)

Die große Teilstrecke verhält sich zur kleinen, wie die gesamte Teilstrecke zur großen. Auf Wikipedia finden sich reichlich Informationen dazu und hübsche Bilder. Der Goldene Schnitt tritt beispielsweise im Fünfeck auf. Dort wurde auch zuerst entdeckt, dass er kein Bruch sein kann. Die Pythagoräer hielten dieses Wissen angeblich geheim, da es die Harmonie der Welt störte.

Wenn die Strecke AE=1 ist, wie groß muss dann die Strecke AE=x sein? Aufgrund der Forderung nach Goldenen Verhältnissen erhalten wir sofort

\(\dfrac{1+x}{1} = \dfrac{1}{x}\)

Das bedeutet

\(x = \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}}} = \ldots\)

Diese Konstruktion nennt man einen Kettenbruch, den man auch als

\(1 + \dfrac{1 |}{|1+} + \dfrac{1 |}{|1+} + \dfrac{1 |}{|1+x}\)

schreibt. Um ihn zu berechnen, muss man ihn abbrechen. Dazu setzt man auf der rechten Seite x=0 oder x=1. Man sieht leicht ein, dass diese beiden Werte eine Intervall bilden, das x enthalten muss. Je nachdem, ob man eine gerade oder ungerade Anzahl von Brüchen hat, ist der eine Wert größer oder kleiner als der andere.

Die Theorie der Kettenbrüche wurde von Euler und Lagrange begründet. Man findet darüber sehr viel im Netz, obwohl es weder in der Schule, noch in der Universität mehr behandelt wird.

Rechnet man von innen nach außen, so ergibt sich die Iteration

\(x_{n+1} = \dfrac{1}{1+x_n} =: f(x_n)\)

mit dem Iterationsanfang

\(x_0=0 \text{ oder } x_0=1\)

Wegen

\(|f'(x)| = \dfrac{1}{(1+x)^2} < 1\)

konvergiert diese Iteration gegen das gesuchte

\(x = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)

Das folgt aus dem Mittelwertsatz wegen f(x)=x und

\(|x_{n+1}-x| = |f(x_n)-f(x)| = |f'(\xi)| \, |x_n-x|\)

Die Details sind eine nette Aufgabe für Anfänger in Analysis.

Mit Euler Math Toolbox kann man die Konvergenz simulieren.

>iterate("1/(1+x)",0)
 0.61803398875

Die Konvergenz ist geometrisch. In der Tat konvergieren Kettenbrüche der allgemeinen Art

\(a_0 + \dfrac{1|}{|a_1 +} + \dfrac{1|}{|a_2 +} + \ldots\)

für jede Folge natürlicher Zahlen

\(a_0,a_1,a_2,\ldots\)

Man kann auch für gegebenen Grenzwert x sehr leicht diese Folge bestimmen. Denn es muss gelten

\(a_0 = \lfloor x \rfloor, \quad \dfrac{1}{x-a_0} = a_1 + \dfrac{1|}{|a_2 +} + \ldots\)

wobei die Klammern den ganzzahligen Anteil von x bezeichnen (Gauß-Klammern). Ein einfaches Programm ist etwa das folgende.

>function ctf (x,n=10) ...
$v=zeros(1,n);
$for i=1 to n;
$   v[i]=floor(x);
$   x=1/(x-v[i]);
$end;
$return v;
$endfunction
>ctf((sqrt(5)-1)/2)
 [0,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1]

Man kann zeigen, dass Kettenbrüche optimale rationale Approximationen an die Zahl x ergeben. Es gibt keine rationale Zahl mit kleinerem Nenner, die näher an x ist als der linke oder rechte abgebrochene Kettenbruch.

>ctf(pi,5)
 [3,  7,  15,  1,  292]
>longest [3+1/(7+1/15),pi,3+1/(7+1/16)]'
       3.141509433962264 
       3.141592653589793 
       3.141592920353983 
>longest [3+1/(7+1/15)-pi,3+1/(7+1/16)-pi]'
  -8.32196275291075e-005 
  2.667641894049666e-007 
>& 3+1/(7+1/16)

                                  355
                                  ---
                                  113

Dies ist ein seit der Antike bekannter Bruch. Angeblich stammt der Näherungsbruch 355/113 von Zu Chongzhi aus dem fünften Jahrhundert. Sicherlich kannten schon die Ägypter den ersten Näherungsbruch 22/7.

Auf diese Weise führt eine simple Beobachtung zu immer weiteren Kreisen. In der Tat war es die Kettenbruchentwicklung von Zahlen, die zum Beweis der Transzendenz beitrug. Das Thema eignet sich hervorragend für kleinere Projekte in der Schule.

Windows 8.1

Microsoft erinnert mich nun schon zum gefühlt zehnten Mal beim Systemstart daran, dass ich Windows 8.1 im Shop herunterladen kann. In Wirklichkeit steht dort Windows 8.1 aufgrund meiner Lizenz nicht zur Verfügung, weder „kostenlos“ noch gegen Bezahlung.

Microsoft, das ist peinlich!

Macht PISA dumm II

Auf den immer lesenswerten Nachdenkseiten wurde ein Essay über PISA aus dem Archiv der FAZ von Silja Graupe und Jochen Krautz verlinkt. Die Autoren belegen dort, wie PISA für die neo-liberale Propaganda missbraucht wird. Liest man das Essay, so gewinnt man den Eindruck, dass es bei PISA in der Hauptsache darum ging, den Unterricht „wirtschaftskompatibel“ zur Heranbildung von „Humankapital“ zu gestalten. Das erinnert mich an Kaisers Zeiten, wo es erklärtes Ziel der Schule war zum Militärdienst zu „ertüchtigen“.

Nun kann ich nicht beurteilen, ob es einzelne, vielleicht auch einflussreiche Kreise sind, die den Test auf diese Weise instrumentalisieren, oder ob das im Kern das Ziel von PISA ist. Die Forderungen nach einer „neuen Schule“ gehören in der Tat zum Dauerbrenner der neo-liberalen Agenda. Gemeint sind wirtschaftsnahe Unterrichtsinhalte und mehr technische Fächer, gehalten von „Praktikern“. Das mittelmäßige Abschneiden Deutschlands wird dann natürlich gerne als Motivation genutzt, den „Reformstau“ zu beseitigen.

Man muss sich aber doch einmal vor Augen halten, dass PISA nur grundsätzliche Fertigkeiten in Lesen und Mathematik testet. Diejenigen, die von der Schule die Bildung von Kritikfähigkeit, sozialer Kompetenz und Charakter fordern (und zu denen auch ich gehöre), müssen sich fragen lassen, wie man ohne das elementare Verständnis eines Textes kritikfähig sein soll. Wie soll die Beurteilung aktueller volkswirtschaftlicher Zusammenhänge ohne Lesekompetenz und elementare mathematische Fähigkeiten gehen? Wie kann man am politischen Leben ohne elementare Grundkenntnisse teilhaben?

Man muss die Bildungsgerechtigkeit und die gesellschaftliche Chancengleichheit voneinander trennen. Bildung ist nicht die Antwort auf die zunehmende Kluft in der Gesellschaft, Ausbildung schon gleich gar nicht. Das Schreien nach mehr „Bildung“ ist letztlich ein Ablenkungsmanöver, das die Chancenlosen als „bildungsferne Schichten“ abstempelt. Oder anders gesagt, mit sozialer Gerechtigkeit kommt die Bildung von ganz alleine.