Archiv der Kategorie: PISA

The Bayesian and the Frequentist – III

For another story, I read the following problem on a Google+ site yesterday: You have three cards in your pocket, one with two red sides, one with two blue sides and one with a red and a blue side. You take one out of your pocket, place it on the table, and it shows a blue side. What is the probability that the other side is also blue?

That fits into my Credo that the quickest way to get order into our thinking is to imagine or actually do a simulation. So let us do that first without trying any abstract thoughts about the problem.

The simulation is obviously to draw one of the three cards with equal probability. Then to take one of the sides with equal probability. Then we have to discard the cases where the side is red. This time, we make a small Java program. I try to design one that is easily understandable.

public class MC
{
	static final int red=0,blue=1;
	
	public static int random (int n)
	{
		return (int)(Math.random()*n);
	}

	public static void main (String a[])
	{
		int C[][]={{red,red},{blue,blue},{red,blue}};
		
		int n=100000000;
		int found=0;
		int valid=0;
		for (int i=0; i<n; i++)
		{
			int card=random(3),side=random(2);
			int otherside=1-side;
			if (C[card][side]==blue)
			{
				valid++;
				if (C[card][otherside]==blue) found++;
			}
		}
		System.out.println("Found : "+(double)found/valid);
		
	}
}

We can do 100 million simulations in about one seconde. The result is 0.66666164. Of course, we can also do it in EMT with its matrix language or with a TinyC program. With the matrix language, I can only get up to 10 million iterations. Extending the stack would help. But then it is still slower.

>C=[1,0,0;1,0,1]
             1             0             0 
             1             0             1 
>n=10000000;
>i=intrandom(n,2); j=intrandom(n,3); 
>Sel=mget(C,i'|j'); Other=mget(C,(3-i)'|j');
>sum(Sel==1 && Other==1)/sum(Sel==1)
 0.666787938524

So the result seems to be 2/3 probability for the other side to be blue. It is not difficult to understand. We always reject the card with two red sides. And we reject the card with one red side half of the time, but we always accept the card with two blue sides. Thus it is twice as likely to have blue on the other side.

The Bayesian trick does indeed help in this case. But it makes things more mysterious. Let us call BB the event that the card with two blue sides is drawn, and B the event that we see a blue side. Then

\(P(\text{BB}|\text{B}) = P(\text{B}|\text{BB}) \cdot \dfrac{P(\text{BB})}{P(\text{B})} = 1 \cdot \dfrac{1/3}{1/2} =\dfrac{2}{3}.\)

 

Mathematik oder Pädagogik?

Ich lese in ZEIT online das Interview mit einer ehemaligen Schulleiterin in einer Hamburger „Stadtteilschule“. In einem Bildblock herausgestellt wird folgender Satz:

Die Ausbildung unserer Lehrer ist praxisfern: Schüler brauchen keine Fachgenies, sondern Pädagogen, die ihre Probleme verstehen.

Wie so oft ist das so zugespitzt formuliert, dass jeder zustimmen kann. „Fachgenies“ sind ganz offensichtlich in der Schule fehl am Platz. Ebenso wenig bestreitet jemand, dass Lehrer und Lehrerinnen die Probleme der Schüler verstehen sollten. Der Satz entlarvt sich damit als Meinungsmache, deren wesentliches Merkmal ist Sachverhalte zu unterstellen, die so nicht der Realität entsprechen. Stimmt man dem Satz zu, dann stimmt man auch der tendenziösen Botschaft zu, die ganz einfach lautet: Weniger Fachausbildung für Lehrer!

Nun versuchen wir es damit in Deutschland seit Jahren. Die Lehramtsausbildung für das Gymnasium entspricht inzwischen nur mit zusätzlichen Modulen einem Bachelor-Abschluss im Fach. Die Zulassungsarbeit kann durch eine Bachelorarbeit ersetzt werden. Im Vergleich dazu war es noch vor wenigen Jahren ohne Problem möglich, mit dem ersten Staatsexamen in die Promotion einzusteigen. In den anderen Schularten sieht es nicht besser aus. Fachinhalte wurden und werden dort bis auf das Schulniveau reduziert. Wurde die Schule dadurch besser? Nach Aussage derselben Kritiker unserer Lehramtsausbildung ist gerade das nicht der Fall. Sie empfehlen allerdings nur mehr von einer Medizin, die bisher auch nicht gewirkt hat.

Fragen Sie doch einmal einen beliebigen Schulleiter, was ihn an der real existierenden Schule am meisten bedrückt. Über zu große Fachkenntnisse des Lehrpersonals werden Sie da nichts hören. Im Gegenteil gibt es Schulleiter, die sich über mangelnde fachliche Professionalität von Referendaren beschweren. Das führt zu Ärgernissen mit Eltern und Probleme im Unterricht bis hin zur Notwendigkeit, die Klausuren dieser angehenden Kollegen nachkorrigieren lassen zu müssen. Die wirklichen Klagen der Schulleiter betreffen eher Schüler, Eltern und die Schulbehörde.

Nun ist gerade die veränderte Zusammensetzung der Klassen ein Argument der Pädagogen für mehr Pädagogik und weniger fachliche Ausbildung. Nutzt das etwas? Ich glaube nicht. Auch ich kann provokante Sätze formulieren und textuell herausstellen:

Es ist nicht hilfreich, nützliche Fachvorlesungen in Mathematik durch verkopfte Fachvorlesung in Pädagogik zu ersetzen.

Wir sollten allerdings von einer übermäßigen Konfrontation wieder ein wenig herunterkommen. Wir sind uns schließlich einig darüber, dass der Erfolg der Schule, und zwar nicht nur bei den unteren Schichten, zu wünschen übrig lässt. Die Kompetenzen in den MINT-Fächern ebenso wie die Lesekompetenzen, die ja ständig gemessen werden, sind im Schnitt unzureichend. Wir sollten uns auch einig darüber sein, dass ein Lehrer sowohl pädagogisch-didaktische, also auch fachliche Qualitäten haben muss. Ein guter Lehrer benötigt beides, und dazu noch menschliche Fähigkeiten, die man nicht antrainieren kann.

Ein guter Lehrer besitzt Sachkenntnis sowie pädagogische und didaktische Kompetenzen in gleichem Maße. Im optimalen Fall hat er auch besondere menschliche Qualitäten. 

Ich schlage erneut eine zweiphasige Ausbildung als Kompromiss vor, bestehend aus einer Fachausbildung in der ersten Phase und Ausbildung zum Lehrer in der zweiten Phase. Die Fachausbildung besteht aus einer Ausbildung zum Bachelor in den zu unterrichtenden Fächern, mit einem Fach als Hauptfach. Das gilt zumindest für die Lehrämter am Gymnasium. In der zweiten Phase werden dann Schulpraktika, pädagogische Inhalte und didaktische Module miteinander zu einem Master of Education verzahnt. Das erste Staatsexamen wird abgeschafft. Dieser Vorschlag wurde schon öfter gemacht, auch von prominenter Seite. Er scheiterte aber immer an universitären Lehramtsexperten, die glauben, einen Lehrer von der Schule direkt wieder in die Schule abholen zu müssen. Im Unterschied dazu glaube ich als Fachdozent nicht, bei der mich nicht betreffenden anderen Phase, der eigentlichen Lehramtsausbildung, hineinreden zu müssen.

Was die Lehrämter an Grund- und Hauptschulen angeht, so bin auch ich der Meinung, dass hier die Fachinhalte auf das Notwendigste zu reduzieren sind. Bei der Realschule allerdings ist die Lage kritischer zu sehen. Dies ist eine Schulart, für der sich zu viele Studentinnen und Studenten entscheiden, ohne allerdings die fachlichen Voraussetzungen für einen erfolgreichen Unterricht mitzubringen oder zu erwerben. Der Überhang an Bewerbern ist hier so groß, dass eine fachliche Hürde nicht schaden kann. Derzeit machen etwas zehnmal mehr Kandidatinnen und Kandidaten einen Abschluss als Stellen zur Verfügung stehen. Ob man hier einen Bachelor vorsehen sollte, mag diskutierbar sein. Aber es muss klar sein, dass selbst an Realschulen ein Mathematiklehrer ein Mathematiker sein muss. Amateure richten zu viel Schaden an.

Ein Mathematiklehrer muss Mathematiker sein, kein Amateur. Er muss sich im Studium die Grundsätze seinen Faches angeeignet haben. Die lassen sich eben nur in Fachvorlesungen üben.

Schließlich möchte ich noch präzisieren, was ich unter „Fachinhalten“ verstehe. Keineswegs müssen das fortgeschrittene Forschungsinhalte des jeweiligen Fachs sein. Auch sind es nicht unbedingt die klassischen Inhalte ohne Rücksicht darauf, wie sich Fächer in der modernen Zeit wissenschaftlich wandeln. Und die Curricula der Bachelor in Mathematik sind in der Tat moderner geworden. Wo etwa Funktionentheorie und Algebra noch immer eine Hauptrolle spielen, ist das dem Lehramtsstudium und dem schriftlichen Staatsexamen geschuldet. Diese scharfe, aber unsachgemäße Akzentuierung würde mit dem obigen zweistufigen Modell sofort aufhören. Das ist übrigens ein weiterer Grund, warum sich selbst Fachvertreter gegen eine Reform des Lehramtsstudiums wenden.

Eine bessere Schule tut Not. Sie ist eine gesellschaftliche Herausforderung. Die Lehramtsausbildung ist nur eine Facette des Problems. Vermutlich wird man ohne eine Aufwertung des Lehrerberufs nicht auskommen. Die erfolgreichen Länder vereinen strikte Zugangsprüfungen mit guter Bezahlung und guten Arbeitsbedingungen. Vielleicht sollten wir ein wenig von ihnen lernen.

Stratified Sampling in EMT

Let me demonstrate another trick for Monte-Carlo methods. For a better spread of random numbers over the complete range of the random variable, one can use stratified sampling. For this the interval [0,1] is evenly divided into k partitions. In each partition, a random variable is selected. Then the inverse distribution is applied to all k random variables. This yields k random variables, which should distribute more evenly across the range of the random variable we want to simulate.

Here is one run in EMT. We generate k normal distributed random variables.

>k=10; t=(1:k)/k; p=t-random(k)/k
 [0.0345216,  0.140289,  0.223475,  0.364381,  0.47122,  0.597257,
 0.613633,  0.747672,  0.894046,  0.993234]
>invnormaldis(p)
 [-1.81814,  -1.07902,  -0.760509,  -0.346772,  -0.0722034,  0.246254,
 0.288799,  0.667183,  1.24834,  2.46948]

To make a function for this, we use the same technique as shown in a previous blog. We first generate a vector of j runs of the above stratification. We use redim() to make this a vector. Then we fill this vector to get n*m random variables. Then we apply redim() again to get a nxm random matrix.

>function normalstrat (n,m,k=10) ...
$  N=n*m; j=floor(N/k);
$  t=(1:k)/k; v=redim(invnormaldis(t-random(j,k)/k),1,j*k);
$  return redim(v|normal(N-j*k),n,m);
$endfunction

To test this, we generate 1000 times 1000 random numbers with distribution

\(e^X, \quad X \sim N(0,1)\)

Then we compute the mean values of all runs and compare the deviation of these mean values between the usual generator normal() and normalstrat().

>x=normal(1000,1000);
>dev(mean(exp(x))')
 0.0677277156242
>x=normalstrat(1000,1000,100);
>dev(mean(exp(x))')
 0.0218424200992

This clear improvement comes at the cost of giving up our fast generator (based on the Box-Muller method) for a method which involves the inverse distribution. In fact the time factor is about 3. But we need to generate 9000 random numbers instead of 1000 to get the same accuracy. So the methods is efficient.

Taschenrechner in der Schule

Ich bin gerade über diese Diskussion auf den Seiten der WAZ gestolpert. Es geht um „Edel-Taschenrechner“ in der Schule und die Diskussion, ob diese Taschenrechner „überhaupt den Mathematikunterricht voranbringen und ihren Preis Wert sind“. Genauer geht es Casio-Taschenrechner mit Menüführung für 80€ bei Sammelbestellung. Jeder, der Kinder in der Schule hat, kennt die zusätzlichen finanziellen Anforderungen, die auf die Eltern zukommen. Das fängt bei Lernmaterial an und geht über schulische Freizeitaktivitäten bis zum notwendigen Computer daheim. Und jetzt also noch 80€ für den Taschenrechner?

Wir haben das schon oft diskutiert. Das Ergebnis war immer, dass Taschenrechner oder sogar Software heute notwendige Bestandteile einer höheren Mathematikausbildung sein müssen.

Es kann nicht mehr Hauptkompetenz des Unterrichts sein, immer wieder Dinge zu üben, die ein leicht und billig verfügbares Gerät besser und genauer erledigen kann.

Wir sind und auch einig, dass technische Hindernisse eine vernünftige Nutzung von Software oder Hardware behindern. Die Technik wird aber fortschreiten und irgendwann werden tragbare Computer in der Schule selbstverständlich sein, ebenso selbstverständlich wie es Taschenrechner heute schon sind.

Was hilft uns das? Dazu müssen wir sehen, was wir den jungen Leuten beibringen wollen. Die in der Schule zu vermittelnden Mathematik-Kompetenzen sind:

  • Geometrische Anschauung. Das betrifft die Vorstellung von zwei- und dreidimensionalen Objekten sowie Längen und Winkeln in diesen Objekten bis hin zu Funktionsgraphen, Tangenten und Ortslinien. Ganz offenbar kann hier neben der manipulativen Erstellung von Zeichnungen und realen Modellen Software eine wesentliche Hilfe sein.
  • Algebraische Fertigkeiten. Das ist das Rechnen mit Zahlen und Unbekannten, einschließlich dem Calculus. Hier kann Software als Lernhilfe eingesetzt werden oder um die erlernten Grundkenntnisse auf Probleme zu erweitern, deren Rechnung mit der Hand sehr mühsam bis unmöglich wäre.
  • Fähigkeit zur logischen Reflexion. Damit meine ich zum einen die Fähigkeit, sich bei geometrischen oder algebraischen Tätigkeiten im Klaren zu sein, was man eigentlich tut. Da kann schon einmal ein „Beweis“ notwendig werden. Zum anderen aber betrifft es auch die Fähigkeit, reale Problem in mathematische Modelle zu übertragen. Reflexion ist die Fähigkeit einzusehen, warum Schritte korrekt oder falsch sind. Da kann Software höchstens dadurch helfen, dass man Falsches auch einmal ausprobieren kann.

Der letzte Punkt ist in der Schule ohnehin unterrepräsentiert. Es ist daher nützlich beim Einüben von Rechenfähigkeiten Zeit für Besseres zu sparen.

 

Macht PISA dumm II

Auf den immer lesenswerten Nachdenkseiten wurde ein Essay über PISA aus dem Archiv der FAZ von Silja Graupe und Jochen Krautz verlinkt. Die Autoren belegen dort, wie PISA für die neo-liberale Propaganda missbraucht wird. Liest man das Essay, so gewinnt man den Eindruck, dass es bei PISA in der Hauptsache darum ging, den Unterricht „wirtschaftskompatibel“ zur Heranbildung von „Humankapital“ zu gestalten. Das erinnert mich an Kaisers Zeiten, wo es erklärtes Ziel der Schule war zum Militärdienst zu „ertüchtigen“.

Nun kann ich nicht beurteilen, ob es einzelne, vielleicht auch einflussreiche Kreise sind, die den Test auf diese Weise instrumentalisieren, oder ob das im Kern das Ziel von PISA ist. Die Forderungen nach einer „neuen Schule“ gehören in der Tat zum Dauerbrenner der neo-liberalen Agenda. Gemeint sind wirtschaftsnahe Unterrichtsinhalte und mehr technische Fächer, gehalten von „Praktikern“. Das mittelmäßige Abschneiden Deutschlands wird dann natürlich gerne als Motivation genutzt, den „Reformstau“ zu beseitigen.

Man muss sich aber doch einmal vor Augen halten, dass PISA nur grundsätzliche Fertigkeiten in Lesen und Mathematik testet. Diejenigen, die von der Schule die Bildung von Kritikfähigkeit, sozialer Kompetenz und Charakter fordern (und zu denen auch ich gehöre), müssen sich fragen lassen, wie man ohne das elementare Verständnis eines Textes kritikfähig sein soll. Wie soll die Beurteilung aktueller volkswirtschaftlicher Zusammenhänge ohne Lesekompetenz und elementare mathematische Fähigkeiten gehen? Wie kann man am politischen Leben ohne elementare Grundkenntnisse teilhaben?

Man muss die Bildungsgerechtigkeit und die gesellschaftliche Chancengleichheit voneinander trennen. Bildung ist nicht die Antwort auf die zunehmende Kluft in der Gesellschaft, Ausbildung schon gleich gar nicht. Das Schreien nach mehr „Bildung“ ist letztlich ein Ablenkungsmanöver, das die Chancenlosen als „bildungsferne Schichten“ abstempelt. Oder anders gesagt, mit sozialer Gerechtigkeit kommt die Bildung von ganz alleine.