In der Tiefgarage in Ingolstadt gibt es ein mathematisches Wandbild zu entdecken.

Vermutlich ist das eine Hommage an Leonardo da Vinci. Aber der Goldene Schnitt ist viel älter. Da Vinci glaubt ihn in den menschlichen Proportionen wieder zu entdecken. Surft man heute nach dem Goldenen Schnitt im menschlichen Körper, so findet man Bilder einer jungen chinesischen Frau, die mit diesem Titel geehrt wurde. Tatsächlich findet sich der Goldene Schnitt in der Kunst und auch natürlichen Objekten, aber bei den durchschnittlichen menschlichen Proportionen der Realität findet er sich grob angenähert.

Es reizt mich, die Mathematik des Schnittes hier ein klein wenig zu vertiefen. Zunächst enthält das Wandbild oben eine Konstruktion des Goldenen Schnittes.

Die Strecke BC ist halb so groß wie AB. Danach erhält man mit Pythagoras

\(AE = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \, AB\)

Oder äquivalent

\(AB = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} AE\)

Der Punkt E teilt AB dann im Goldenen Schnitt, wie man mit etwas Rechnung einsieht.

\(\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{AE}{EB}\)

Die große Teilstrecke verhält sich zur kleinen, wie die gesamte Teilstrecke zur großen. Auf Wikipedia finden sich reichlich Informationen dazu und hübsche Bilder. Der Goldene Schnitt tritt beispielsweise im Fünfeck auf. Dort wurde auch zuerst entdeckt, dass er kein Bruch sein kann. Die Pythagoräer hielten dieses Wissen angeblich geheim, da es die Harmonie der Welt störte.

Wenn die Strecke AE=1 ist, wie groß muss dann die Strecke AE=x sein? Aufgrund der Forderung nach Goldenen Verhältnissen erhalten wir sofort

\(\dfrac{1+x}{1} = \dfrac{1}{x}\)

Das bedeutet

\(x = \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}}} = \ldots\)

Diese Konstruktion nennt man einen Kettenbruch, den man auch als

\(1 + \dfrac{1 |}{|1+} + \dfrac{1 |}{|1+} + \dfrac{1 |}{|1+x}\)

schreibt. Um ihn zu berechnen, muss man ihn abbrechen. Dazu setzt man auf der rechten Seite x=0 oder x=1. Man sieht leicht ein, dass diese beiden Werte eine Intervall bilden, das x enthalten muss. Je nachdem, ob man eine gerade oder ungerade Anzahl von Brüchen hat, ist der eine Wert größer oder kleiner als der andere.

Die Theorie der Kettenbrüche wurde von Euler und Lagrange begründet. Man findet darüber sehr viel im Netz, obwohl es weder in der Schule, noch in der Universität mehr behandelt wird.

Rechnet man von innen nach außen, so ergibt sich die Iteration

\(x_{n+1} = \dfrac{1}{1+x_n} =: f(x_n)\)

mit dem Iterationsanfang

\(x_0=0 \text{ oder } x_0=1\)

Wegen

\(|f'(x)| = \dfrac{1}{(1+x)^2} < 1\)

konvergiert diese Iteration gegen das gesuchte

\(x = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)

Das folgt aus dem Mittelwertsatz wegen f(x)=x und

\(|x_{n+1}-x| = |f(x_n)-f(x)| = |f'(\xi)| \, |x_n-x|\)

Die Details sind eine nette Aufgabe für Anfänger in Analysis.

Mit Euler Math Toolbox kann man die Konvergenz simulieren.

>iterate("1/(1+x)",0)
 0.61803398875

Die Konvergenz ist geometrisch. In der Tat konvergieren Kettenbrüche der allgemeinen Art

\(a_0 + \dfrac{1|}{|a_1 +} + \dfrac{1|}{|a_2 +} + \ldots\)

für jede Folge natürlicher Zahlen

\(a_0,a_1,a_2,\ldots\)

Man kann auch für gegebenen Grenzwert x sehr leicht diese Folge bestimmen. Denn es muss gelten

\(a_0 = \lfloor x \rfloor, \quad \dfrac{1}{x-a_0} = a_1 + \dfrac{1|}{|a_2 +} + \ldots\)

wobei die Klammern den ganzzahligen Anteil von x bezeichnen (Gauß-Klammern). Ein einfaches Programm ist etwa das folgende.

>function ctf (x,n=10) ...
$v=zeros(1,n);
$for i=1 to n;
$   v[i]=floor(x);
$   x=1/(x-v[i]);
$end;
$return v;
$endfunction
>ctf((sqrt(5)-1)/2)
 [0,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1]

Man kann zeigen, dass Kettenbrüche optimale rationale Approximationen an die Zahl x ergeben. Es gibt keine rationale Zahl mit kleinerem Nenner, die näher an x ist als der linke oder rechte abgebrochene Kettenbruch.

>ctf(pi,5)
 [3,  7,  15,  1,  292]
>longest [3+1/(7+1/15),pi,3+1/(7+1/16)]'
       3.141509433962264 
       3.141592653589793 
       3.141592920353983 
>longest [3+1/(7+1/15)-pi,3+1/(7+1/16)-pi]'
  -8.32196275291075e-005 
  2.667641894049666e-007 
>& 3+1/(7+1/16)

                                  355
                                  ---
                                  113

Dies ist ein seit der Antike bekannter Bruch. Angeblich stammt der Näherungsbruch 355/113 von Zu Chongzhi aus dem fünften Jahrhundert. Sicherlich kannten schon die Ägypter den ersten Näherungsbruch 22/7.

Auf diese Weise führt eine simple Beobachtung zu immer weiteren Kreisen. In der Tat war es die Kettenbruchentwicklung von Zahlen, die zum Beweis der Transzendenz beitrug. Das Thema eignet sich hervorragend für kleinere Projekte in der Schule.