Negativ mal Negativ gleich Positiv?

Das ist einer der Blogeinträge, die ich lieber auf deutsch schreibe, weil wir ins Philosophische gehen wollen. Da bin ich in Englisch zu schwach. Inspiriert wurde die Frage durch diesen Blog, in den ich immer mal wieder gerne schaue.

Warum ist also negativ*negativ=positiv?

Jeder Mathematikstudent im ersten Semester lernt, dass das aus den Axiomen folgt. Vielleicht zum Aufwärmen erst einmal der Beweis aus dem Buch. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass wir in einem Ring mit kommutativer Multiplikation sind. Erstsemester wissen vielleicht nicht, was das ist. Für die sind wir in einem Körper, eine algebraische Struktur, die überall im Kanon der ersten Vorlesungen steht. Für Nicht-Mathematiker ist ein Ring eine Menge, wie etwa die Menge der ganzen Zahlen, wo man Multiplizieren und Addieren kann, und wo gewisse Gesetze gelten, die man so festgelegt hat, dass sie möglichst knapp sind, dass aber aus ihnen möglichst alles, was man braucht, folgert. Details über die Rechengesetze in Ringen und Körpern bietet Wikipedia.

Dann hat man zuerst einmal aufgrund des Distributivgesetzes

\(0 \cdot b+0 \cdot b=(0+0) \cdot b=0 \cdot b\)

Daraus folgt, indem man auf beiden Seiten 0*b abzieht, dass 0*b=0 sein muss. Daher haben wir

\(0 = 0 \cdot b = (a + (-a)) \cdot b = a \cdot b + (-a) \cdot b\)

Das bedeutet

\(– (a \cdot b) = (-a) \cdot b\)

Macht man dasselbe nochmals, so erhält man

\(-(-(a \cdot b)) = (-a)\cdot(-b)\)

Nun gilt aber für beliebige x in unserem Ring

\(x + (-x) = 0 = -(-x) + (-x)\)

Zieht man auf beiden Seiten -x ab, so erhält man x=-(-x). Angewendet auf das obige Resultat haben wir schließlich

\(a \cdot b = (-a) \cdot (-b) \)

Das also ist der Buchbeweis im einfachen kommutativen Fall. Wenn die Multiplikation nicht vertauschbar ist, wird das ganze eine etwas längere Knobelei. Schon im obigen Beweisgang habe ich einige Details ausgelassen, um zum Wesentlichen zu kommen.

Eine Theorie mit Axiomen festzulegen, und daraus mit Hilfe von zwingender Logik Schlüsse zu ziehen, ist äußerst nützlich. Denn es erlaubt die Anwendung der Theorie auf andere Situationen, in denen die Axiome gelten. Mein Lieblingsbeispiel sind die Skalarprodukträume, in denen es ein Skalarprodukt und damit auch einen Abstand gibt. Diese geometrisch inspirierte Theorie lässt sich auf Dinge wie Fourier-Analyse oder lineare Regression anwenden. Beides sind praktische Anwendungen, deren Bedeutung für die Technik man gar nicht überschätzen kann.

Gehen wir einen Schritt zurück.

Erst einmal könnte man fragen, warum gerade die Axiome aus der Vorlesung einen Ring festlegen. Schließlich ist Mathematik kein von oben festgelegter Kult, sondern eine lebendige Disziplin. Für solche Fragen haben Studenten nicht die Zeit und auch nicht das Standing. Tatsache ist jedoch, dass es für viele Dinge äquivalente Definitionen gibt. Äquivalent bedeutet hier, dass jedes System, dass die einen Axiome erfüllt, auch die anderen erfüllt. Beispielsweise wird die Exponentialfunktion in praktisch jeder Anfängervorlesung anders eingeführt: als Reihe, als konvergente Folge, als Grenzwert einer Funktion, als Umkehrung des Logarithmus, der wiederum die Stammfunktion von 1/x ist, als Erweiterung der Potenzen mit Brüchen auf nicht-rationale Exponenten einschließlich einer Definition von e, als Funktion, die sich selbst als Ableitung hat, und möglicherweise noch auf ein paar andere Weisen. Manche dieser Definitionen sind geschickter und eleganter, manche anschaulicher.

\(\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n, \\ \exp(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}, \\ \exp'(x) = \exp(x), \exp(0)=1,\\ \exp\left( \int\limits_1^y \dfrac{1}{t} \, dt\right) = y.\)

Das führt zur nächsten und entscheidenden Frage: Wieso existiert das Objekt, das ich mit meiner Definition festlege, überhaupt? Und was bedeutet hier Existenz? Damit sind wir im Philosophischen.

Natürlich haben die Mathematiker darauf eine Antwort. Sie lautet „Grundlagen der Mathematik“ und ist eine Disziplin, die sich mit Mengenlehre und Logik befasst. Die Grundlagen wurden im 19. Jahrhundert geschaffen und werden heute als Basis akzeptiert. Knapp gesagt beginnt man mit den natürlichen Zahlen, von denen Hilbert gesagt hat, sie seien „von Gott gegeben“. Alles andere wird daraus konstruiert, und ist damit „Menschenwerk“. Aus den natürlichen Zahlen kann man die ganzen Zahlen konstruieren samt der Addition und Multiplikation, und dann zeigen, dass dort die gewünschten Axiome gelten. Dieser Prozess wird heute in den Vorlesungen der Mathematik zu Recht nicht mehr durchgeführt, da die Konstruktion aufwändig und nicht leicht verständlich ist.

Es ist übrigens unklar, warum diese „gottgebenen“ natürlichen Zahlen, die natürlich nichts als Menschenwerk sind, so existieren, wie ihre Existenz gefordert wird. Tatsächlich hat Gödel uns darauf hingewiesen, dass wir die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik  niemals werden beweisen können. Überdies gibt es verschiedene Modelle der natürlichen Zahlen, eine Tatsache, die viele nicht begreifen. Es ist einfach so, dass wir nicht genügend Axiome hinschreiben können, um alle einfachen arithmetischen Aussagen zu beweisen oder zu widerlegen. Zwar wurde gerade der große Fermatsche Satz bewiesen, aber es ist durchaus möglich, dass andere bekannte offene Probleme nicht entscheidbar sind.

Zum Schluss sollten wir uns wirklich einmal auf die „Niederungen“ der Schulmathematik begeben. Schließlich ist die im Titel dieses Blogs gestellte Frage nur dort denkbar. Sobald die Studenten in die Uni eintreten, akzeptieren sie alles, was der Dozent sagt. Wie kann man also anschaulich „beweisen“, warum negativ mal negativ positiv ist?

Es ist vielleicht klar, woher die Frage kommt. Setzt man negativ gleich böse, gleich Schulden, so ist doppelt negativ nicht gut. Darauf aufmerksam gemacht, dass Minus nichts mit Verdoppeln zu tun hat, kommt sofort die Frage, was denn nun dieses Minus ist. Auf der Zahlengerade ist es Umdrehen, und daher ist -(-x)=x anschaulich klar. Das Produkt von zwei Zahlen kann aber auf den Zahlengerade zunächst nur modelliert werden, wenn eine davon eine positive ganze Zahl ist. Dann ist es das Vervielfachen einer Strecke in die gleiche Richtung.

Was bedeutet denn nun das (-3)-fache einer Strecke? Auf keinen Fall kann man das Argument gelten lassen, dass dies eben das umgedrehte Dreifache ist. Das ist ja genau das, was wir begründen wollen. Man kann argumentieren, dass eine nach links gehender Pfeil der Länge 3 verfünffacht einen nach links gehenden Pfeil der Länge -15 ergibt, also

\((-3) \cdot 5 = -15\)

Wir schließen daraus, dass die Multiplikation mit -3 dasselbe ist, wie die Multiplikation mit 3 mit anschließender Umkehrung. Angewendet auf (-3)*(-5) erhalten wir 3*5. Was wir gemacht haben, ist aber nichts anderes wie das algebraische Argument oben: Wir haben die Multiplikation so passend gemacht, dass ihre Gesetze für positive und für negative Zahlen gelten. Also

\((-a) \cdot b = – (a \cdot b)\)

egal, ob b positiv oder negativ ist.

Ich glaube auch nicht, dass es einen prinzipiell anderen Weg geben kann. Die negativen Zahlen sind nun einmal so beschaffen, dass sie die Rechenregeln der positiven Zahlen fortsetzen.

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