Steuerfunktion und Mathematik

Vielleicht zum Nachtrag noch ein paar mathematische Bemerkungen zur Steuerfunktion. Man kann an dieser Funktion nämlich einige elementare Begriffe der Analysis studieren.

Wenn s(x) die bei einem Jahreseinkommen x zu zahlende Steuer ist (die „Steuerfunktion“), dann muss sinnvollerweise

\(0 \le s(x) \le x \)

gelten. Es folgt schon mal, dass s in 0 stetig ist mit s(0)=0. Ein elementares Prinzip der Steuergerechtigkeit verlangt, das zumindest in der Theorie nur in Diktaturen verletzt wird, ist, dass die zu zahlende Steuer mit dem Einkommen wächst. Mathematisch gesprochen muss s also monoton wachsend sein. (Ich weiß natürlich, dass selbst dieses elementare Prinzip durch allerlei Abschreibungsmöglichkeiten unterlaufen werden kann.)

Außerdem soll natürlich das Nettoeinkommen mit dem Bruttoeinkommen steigen. Es ist nun eine mathematische Tatsache, dass diese beiden Forderungen die Stetigkeit der Steuerfunktion zur Folge haben.

Satz: Wenn sowohl s(x), als auch x-s(x) monoton steigen, muss s stetig sein.

Der Beweis ist eine Übungsaufgabe der Analysis. Übrigens sind die Bedingungen des Satzes verletzt, wenn das Einkommen gestückelt wird, indem es auf ein Vielfaches eines festen Betrages gerundet wird. Ob das in Deutschland derzeit noch so ist, weiß ich nicht genau. Früher wurde auf Vielfache von 52€ abgerundet. Es kann dann sein, dass man mehr verdient, aber weniger in der Tasche hat.

Die Progression in Deutschland fordert zudem, dass der Steuersatz s(x)/x, also der Anteil der Steuer am Einkommen monoton wächst. Dies ist erfüllt von allen konvexen Steuerfunktionen. Dazu überlegt man sich am Graphen der Steuerfunktion, dass der Steuersatz die Steigung der Geraden von (0,0) nach (x,s(x)) ist. Mathematisch ergibt sich ebenfalls eine interessante Übungsaufgabe. Die Bedingung gilt insbesondere dann, wenn der Grenzsteuersatz s'(x) monoton wächst. Auch diese Bedingung ergibt einen Sinn im Lichte von Steuergerechtigkeit, indem ein Bürger mit hohem Einkommen von jedem zusätzlichen Euro mehr abgeben muss. Die FDP bekämpft das allerdings als leistungsfeindlich.

Wie man sieht, eignet sich die Steuerfunktion ganz gut, um die Konzepte der Analysis zu veranschaulichen. Als weiteres, komplexeres Material hat man etwa die Berechnung des Steueraufkommens aus der Einkommensverteilung durch ein Integral.

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