Es erstaunt mich immer wieder, was für seltsame Probleme in der Mathematik auftauchen. Es ist halt leichter, Probleme zu generieren, als welche zu lösen. Das folgende Problem ist jedenfalls uralt, und trotzdem ist es mir völlig neu.

Es geht um die Konvergenz der Folge

\(x_{n+1}=x^{x_n}, \quad x_0=x. \)

Man kann das plastisch als Auswertung von

\(x^{x^{x^{\ldots}}} \)

ansehen, wenn man nicht, wie mein Programm Euler, solche Potenzen von links nach rechts auswertet. Es ist eine alte Diskussion unter Programmierern, was da richtig ist. Eine Norm gibt es dafür offenbar nicht.

Da beide Seiten der Rekursion stetig sind, kann die Folge nur gegen eine Lösung von

\(y=x^y \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{\ln y}{y} = \ln x \)

konvergieren. Da ln(y)/y ein globales Maximum in e hat, ist dies nur für

\(x \le e^{1/e} \)

möglich. Damit eine solche Fixpunktiteration auch tatsächlich konvergiert, muss die Ableitung im Fixpunkt vom Betrage her höchstens 1 sein. Dies ergibt eine zusätzliche Bedingung, nämlich

\(-1 \le \ln y \le 1 \)

Woraus für x die Abschätzung

\((1/e)^e \le x \le e^{1/e} \)

folgt. Diese Abschätzungen erfordern etwas Rechenkünste. Sie sind herzlich eingeladen, das alles nachzuvollziehen. Dass die Iteration dann auch tatsächlich konvergiert, ist dann immer noch nicht so einfach zu zeigen.

Aber hier ist ein Bild der Grenzfunktion im fraglichen Bereich.