Vermaledeite Stochastik

Wie stark es bei der Stochastik auf die genaue Problemstellung ankommt, zeigt das folgende Beispiel.

Wie wahrscheinlich ist es, dass das zweite Kind einer Familie mit zwei Kindern, von denen eines ein Junge ist, ebenfalls ein Junge ist?

Die korrekte Antwort 1/3 überrascht doch zunächst sehr. Man geht am besten an solche Aufgaben heran, indem man sich ein Experiment ausdenkt, mit dem man die Wahrscheinlichkeit überprüfen kann. In diesem Fall denken wir uns, dass wir alle Familien mit zwei Kindern in einer großen Stadt aufsuchen, die mindestens einen Jungen haben. Es können folgende Konfigurationen auftreten.

  • 1. Kind Junge, 2. Kind Junge
  • 1. Kind Junge, 2. Kind Mädchen
  • 1. Kind Mädchen, 2. Kind Junge

Die verbleibende Möglichkeit von zwei Mädchen suchen wir ja nicht auf. Der entscheidende Schritt ist nun anzunehmen, dass diese drei Möglichkeiten mit gleicher Häufigkeit auftreten. Das ist in der Praxis der Fall, wenn die Wahrscheinlichkeit für jedes Kind 1/2 ist, Junge oder Mädchen zu sein, und wenn das Geschlecht von Geschwistern unabhängig voneinander auftritt. Hat man das akzeptiert, so ist klar, warum nur in 1/3 aller Fälle das andere Kind ebenfalls ein Junge ist. Man muss sich allerdings sicher sein, dass das Experiment auch die Fragestellung beantwortet!

Die obige Fragestellung ist sehr verschieden von der folgenden.

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Vater mit zwei Kindern, der mit einem seiner Kinder, einem Jungen, durch die Stadt geht, als anderes Kind ebenfalls einen Jungen hat?

Schon die einfache Überlegung, dass dieselbe Wahrscheinlichkeit auch für Mädchen gelten müsste, zeigt, dass die Antwort hier 1/2 sein muss. Schließlich haben tatsächlich in der Hälfte aller Fälle beide Kinder dasselbe Geschlecht. Wo aber liegt der Unterschied im Experiment?

Nun, nehmen wir dieselben obigen drei Fälle, die auftreten können. Dann sind diese Fälle aber nicht mehr gleich häufig! Denn im ersten Fall hat der Vater die Auswahl, mit welchem Jungen er in die Stadt geht, in den anderen Fällen nicht. Tut er das zufällig, so tritt der erste Fall nun doppelt so häufig auf. Deswegen ist seine Wahrscheinlichkeit nun 1/2.

Übrigens ändert sich die Antwort, wenn er von seinen beiden Jungen immer den älteren mitnimmt. Die Antwort lautet nun wieder 1/3. Geht er aber immer nur mit dem älteren Geschwister in die Stadt, so lautet die Antwort wieder 1/2. Es kommt eben auf die Details an!

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